طرح درس ریاضی پایه نهم عبارت های جبری و اتحاد

خلاصه عبارت‌های جبری و اتحادها – ریاضی پایه نهم

الف) عبارت‌های جبری

۱. تعریف

عبارتی که شامل عدد، متغیر (مثل $x$، $a$) و عمل‌های ریاضی (جمع، تفریق، ضرب، تقسیم، توان) باشد، یک عبارت جبری نامیده می‌شود.

مثال:

3�2−2�+5,�+�2,7�33x2−2x+5,2a+b​,7y3

۲. اجزای عبارت جبری

• متغیر: حروفی که نشان‌دهنده‌ی عدد هستند (مانند $x$، $y$).

• ضریب: عددی که در کنار متغیر می‌آید (مثلاً در $5x$، عدد ۵ ضریب است).

• عامل: هر بخش از حاصل ضرب (مثلاً در $3ab$، عوامل $3$، $a$ و $b$ هستند).

• توان: تعداد دفعات ضرب یک متغیر در خودش (�3x3 یعنی $x$ به توان ۳).

• جمله: هر بخش از عبارت که با علامت $+$ یا $-$ جدا می‌شود (مثلاً در 2�2+3�−12x2+3x−1، سه جمله داریم).

۳. انواع عبارت‌های جبری

• یک‌جمله‌ای: فقط یک جمله دارد (−4�2�−4x2y).

• چندجمله‌ای: شامل چند جمله است (�2−2�+1x2−2x+1).

۴. ساده کردن عبارت‌ها

• جمع و تفریق: فقط جملات هم‌راستا (هم‌درجه با متغیرهای یکسان) را می‌توان با هم جمع یا از هم کم کرد.

  3�+5�=8�,2�2+4�−�2=�2+4�3x+5x=8x,2a2+4a−a2=a2+4a

• ضرب: در ضرب تک‌جمله‌ها، ضرایب در هم و متغیرهای مشابه با جمع توان‌ها ضرب می‌شوند.

  (3�)(−2�2)=−6�3(3x)(−2x2)=−6x3

• تقسیم: در تقسیم تک‌جمله‌ها، ضرایب تقسیم و متغیرهای مشابه با تفریق توان‌ها ساده می‌شوند.

  6�42�2=3�22x26x4​=3x2

۵. کاربرد

عبارت‌های جبری برای مدل‌سازی مسائل واقعی، محاسبه‌ی محیط و مساحت اشکال، بیان فرمول‌ها و حل معادلات به کار می‌روند.

ب) اتحادها

۱. تعریف

اتحاد یک برابری جبری است که به ازای همه‌ی مقادیر متغیرها برقرار است (برخلاف معادله که فقط برای مقادیر خاصی درست است).

۲. اتحادهای مهم پایه نهم

اتحاد مربع مجموع دو جمله‌ای

(�+�)2=�2+2��+�2(a+b)2=a2+2ab+b2

مثال:

(�+3)2=�2+6�+9(x+3)2=x2+6x+9

اتحاد مربع تفاضل دو جمله‌ای

(�−�)2=�2−2��+�2(a−b)2=a2−2ab+b2

مثال:

(2�−5)2=4�2−20�+25(2x−5)2=4x2−20x+25

اتحاد مزدوج

(�+�)(�−�)=�2−�2(a+b)(a−b)=a2−b2

مثال:

(�+4)(�−4)=�2−16(x+4)(x−4)=x2−16

اتحاد جمله‌ی مشترک

(�+�)(�+�)=�2+(�+�)�+��(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab

مثال:

(�+2)(�+5)=�2+7�+10(x+2)(x+5)=x2+7x+10

۳. کاربرد اتحادها

• ساده‌کردن محاسبات.

• تجزی (عامل‌گیری) عبارت‌های جبری.

• حل معادلات و نامعادلات.

• محاسبات سریع ریاضی.

۴. مثال تجزیه با اتحادها

تجزیه‌ی �2−9x2−9 با اتحاد مزدوج:

�2−9=(�−3)(�+3)x2−9=(x−3)(x+3)

ج) نکات طلایی

۱. تشخیص اتحاد: اگر دیدید عبارتی شبیه به یکی از الگوهای بالا دارد، از اتحاد استفاده کنید.

۲. عامل‌گیری: ابتدا بزرگ‌ترین عامل مشترک (ب.م.م) را بیرون بکشید، سپس اتحاد را بررسی کنید.

۳. مرتب کردن: قبل از کار، جملات را بر اساس توان متغیر مرتب کنید.

۴. علامت‌ها: به علامت‌های منفی در اتحاد مربع تفاضل و اتحاد مزدوج دقت کنید.

د) نمونه تمرین ترکیبی

ساده کنید:

(2�+1)2−(�−3)2(2x+1)2−(x−3)2

راه‌حل:
ابتدا از اتحاد مربع استفاده می‌کنیم:

=(4�2+4�+1)−(�2−6�+9)=(4x2+4x+1)−(x2−6x+9)=4�2+4�+1−�2+6�−9=4x2+4x+1−x2+6x−9=3�2+10�−8=3x2+10x−8

جمع‌بندی:
عبارت‌های جبری و اتحادها پایه‌ی جبر هستند و در سال‌های بعد (خصوصاً ریاضی دهم و کنکور) بسیار پرکاربرد خواهند بود. با تمرین زیاد، تسلط بر آن‌ها آسان می‌شود. 💡